Если я живу в съемном жилье, нужно ли рассказывать о нем переписчику?

Разумеется! Во время переписи необходимо указывать ваши фактические жилищные условия. 
Вопрос о размере и состоянии жилища нужен для того, чтобы понять, в каких социально-бытовых условиях живут люди в нашей стране.
На каких основаниях вы находитесь в конкретной квартире или доме, переписчика не интересует. 
Документов о регистрации или прописке, как и вообще каких-либо документов, во время переписи предъявлять не нужно.

Всероссийская перепись населения проходит в соответствии со стандартами и рекомендациями ООН. Во всем мире итоги переписей считаются наиболее точными данными, с ними сверяются все ведомства. 
Данные переписей позволяют корректировать национальные проекты и строить долгосрочные прогнозы. 
Перепись позволяет собрать наиболее полные сведения о населении страны. Значительная часть переписных данных уникальна и не может быть получена никаким другим способом.